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雅克比矩阵的求法步骤

来源:先后步骤网 2024-06-12 02:47:45

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雅克比矩阵的求法步骤(1)

雅克比矩阵是数学中的一个重要概,它在微积分、矩阵论等领域中有广泛的应用原文www.floweringtrees.net。在本中,我们将介绍雅克比矩阵的定义、性质及其求法步骤

一、雅克比矩阵的定义

  雅克比矩阵是一个$m\times n$的矩阵,其中第$i$行第$j$列的素为函数$f$的第$j$个偏导数$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$,

  $$

  J(f)=\begin{bmatrix}

\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\

\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}\\

  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\

\frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}

\end{bmatrix}

  $$

  其中,$f_i$表示函数$f$的第$i$个分量,$x_j$表示自变量的第$j$个分量先 后 步 骤 网

雅克比矩阵的求法步骤(2)

二、雅克比矩阵的性质

1. 雅克比矩阵的转置矩阵等于函数$f$的梯度量$(\nabla f)^T$,

  $$

  J(f)^T=(\nabla f)^T

$$

  其中,$\nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\cdots,\frac{\partial f}{\partial x_n})$表示函数$f$的梯度量。

2. 若函数$f$的雅克比矩阵在某处可逆,则该为$f$的一个正则原文www.floweringtrees.net

  3. 若函数$f$的雅克比矩阵在某处的秩等于$n$,则该为$f$的一个正则

雅克比矩阵的求法步骤(3)

三、雅克比矩阵的求法步骤

  下面我们一个例子来说明如何求解雅克比矩阵欢迎www.floweringtrees.net

例:$f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2,x^3+y^3+z^3)$,求$f$在$(1,1,1)$处的雅克比矩阵。

  步骤1:写出函数$f$的分量形式:

  $$

  f_1(x,y,z)=x^2+y^2+z^2

  $$

  $$

  f_2(x,y,z)=x^3+y^3+z^3

$$

  步骤2:求出函数$f$的各个偏导数:

$$

  \frac{\partial f_1}{\partial x}=2x

  $$

  $$

\frac{\partial f_1}{\partial y}=2y

  $$

$$

\frac{\partial f_1}{\partial z}=2z

$$

  $$

  \frac{\partial f_2}{\partial x}=3x^2

  $$

  $$

  \frac{\partial f_2}{\partial y}=3y^2

$$

$$

\frac{\partial f_2}{\partial z}=3z^2

$$

步骤3:将各个偏导数代入雅克比矩阵的表达式中,到:

  $$

  J(f)=\begin{bmatrix}

  2x & 2y & 2z\\

  3x^2 & 3y^2 & 3z^2

\end{bmatrix}

  $$

步骤4:将$(1,1,1)$代入雅克比矩阵中,到:

  $$

J(f)\mid_{(1,1,1)}=\begin{bmatrix}

  2 & 2 & 2\\

3 & 3 & 3

\end{bmatrix}

$$

因此,函数$f$在$(1,1,1)$处的雅克比矩阵为:

  $$

  J(f)\mid_{(1,1,1)}=\begin{bmatrix}

2 & 2 & 2\\

3 & 3 & 3

\end{bmatrix}

  $$

四、结论

  本介绍了雅克比矩阵的定义、性质及其求法步骤floweringtrees.net。雅克比矩阵在微积分、矩阵论等领域中有广泛的应用,握雅克比矩阵的求法步骤对于理解相关知识具有重要的意义。

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